حل تمرین 1تا 3 صفحه 31 ریاضی و امار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی سلام به شما! این تمرین مجموعه‌ای از معادلات درجه دوم است که با استفاده از **فاکتورگیری، اتحادها یا فرمول کلی ($\elta$)** قابل حل هستند. بیایید مرحله به مرحله پیش برویم. --- ### ۱) $\mathbf{x^2 - x = 0}$ (فاکتورگیری) $$\mathbf{x(x - 1) = 0}$$ $$\mathbf{x = 0 \text{ یا } x - 1 = 0}$$ $$\mathbf{x = 0 \text{ یا } x = 1}$$ ### ۲) $\mathbf{2x^2 + x - 1 = 0}$ (فرمول $\mathbf{\Delta}$) **ضرایب:** $\mathbf{a=2, b=1, c=-1}$. **توجه:** $\mathbf{a+c = 2 + (-1) = 1}$. اگر $\mathbf{a+c=b}$ باشد، یکی از ریشه‌ها $\mathbf{x=-1}$ و دیگری $\mathbf{x = -c/a}$ است (روش ۶). * **ریشه اول ($\mathbf{x_1}$):** $\mathbf{-1}$ * **ریشه دوم ($\mathbf{x_2}$):** $\mathbf{-\frac{c}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}}$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = -1 \text{ یا } x = \frac{1}{2}}$$ ### ۳) $\mathbf{4x^2 - 4x + 1 = 0}$ (اتحاد مربع تفاضل) این یک **اتحاد مربع تفاضل دو جمله** است: $\mathbf{(2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 0}$ $$\mathbf{(2x - 1)^2 = 0}$$ $$\mathbf{2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1}$$ $$\mathbf{x = \frac{1}{2} \text{ (ریشه مضاعف)}}$$ ### ۴) $\mathbf{x^2 + 7x - 18 = 0}$ (اتحاد جمله مشترک) دو عدد که ضربشان $\mathbf{-18}$ و جمعشان $\mathbf{+7}$ باشد، $\mathbf{+9}$ و $\mathbf{-2}$ هستند. $$\mathbf{(x + 9)(x - 2) = 0}$$ $$\mathbf{x + 9 = 0 \text{ یا } x - 2 = 0}$$ $$\mathbf{x = -9 \text{ یا } x = 2}$$ ### ۵) $\mathbf{3x^2 - x + 4 = 0}$ (فرمول $\mathbf{\Delta}$) **ضرایب:** $\mathbf{a=3, b=-1, c=4}$. * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(4) = 1 - 48 = -47}$ * **تفسیر:** چون $\mathbf{\Delta < 0}$ است، معادله **ریشه‌ی حقیقی ندارد**. ### ۶) $\mathbf{x^2 + \sqrt{3}x - 1 = 0}$ (فرمول $\mathbf{\Delta}$) **ضرایب:** $\mathbf{a=1, b=\sqrt{3}, c=-1}$. * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4(1)(-1) = 3 + 4 = 7}$ * **ریشه‌ها:** $\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$ $$\mathbf{x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{7}}{2(1)}}$$ $$\mathbf{x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \text{ یا } x = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی این تمرین برای تقویت استفاده از **فرمول کلی** و **تأیید روابط ویت** است. ### گام ۱: تعیین ضرایب و محاسبه $\mathbf{\Delta}$ معادله: $\mathbf{3x^2 - 2x - 5 = 0}$ * $\mathbf{a = 3}$، $\mathbf{b = -2}$، $\mathbf{c = -5}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64}$ ### گام ۲: یافتن ریشه‌ها ($\mathbf{x_1}$ و $\mathbf{x_2}$) $$\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{2 \pm 8}{6}}$$ 1. **ریشه‌ی اول ($athbf{x_1}$):** $\mathbf{x_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}}$ 2. **ریشه‌ی دوم ($athbf{x_2}$):** $\mathbf{x_2 = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1}$ ### گام ۳: محاسبه حاصل ضرب ریشه‌ها * **حاصل ضرب (P):** $$\mathbf{\text{P} = x_1 x_2 = (\frac{5}{3}) \times (-1) = \mathbf{-\frac{5}{3}}}$$ **تأیید با روابط ویت (اختیاری):** $\mathbf{P = \frac{c}{a} = \frac{-5}{3}}$. پاسخ‌ها یکسان هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی این مسئله با استفاده از **روابط ویت (Vieta's Formulas)** به سادگی حل می‌شود. ما می‌توانیم از حاصل ضرب یا مجموع ریشه‌ها استفاده کنیم. ### گام ۱: استفاده از ریشه معلوم برای یافتن $\mathbf{a}$ اگر $\mathbf{x=4}$ یک جواب باشد، باید در معادله صدق کند: $$\mathbf{2(4)^2 - a(4) + 18 = 0}$$ $$\mathbf{2(16) - 4a + 18 = 0}$$ $$\mathbf{32 - 4a + 18 = 0}$$ $$\mathbf{50 - 4a = 0 \Rightarrow 4a = 50 \Rightarrow a = 12.5}$$ ### گام ۲: یافتن ریشه دیگر ($athbf{x_2}$) با استفاده از حاصل ضرب **روابط ویت:** حاصل ضرب ریشه‌ها $\mathbf{P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$ است. * **ریشه اول ($athbf{x_1}$):** $\mathbf{4}$ * **ریشه دوم ($athbf{x_2}$):** $\mathbf{?}$ * **ضرایب:** $\mathbf{a = 2}$ و $\mathbf{c = 18}$ $$\mathbf{x_1 x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 4 \times x_2 = \frac{18}{2} = 9}$$ $$\mathbf{4x_2 = 9}$$ $$\mathbf{x_2 = \frac{9}{4} = 2.25}$$ **پاسخ نهایی:** جواب دیگر این معادله $\mathbf{x = \frac{9}{4}}$ یا $\mathbf{2.25}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی هندسی است که با قرار دادن تساوی بین مساحت‌ها به یک **معادله درجه دوم** تبدیل می‌شود. ### گام ۱: محاسبه مساحت هر شکل 1. **مساحت مستطیل ($athbf{A_{\text{مستطیل}}}$):** $\mathbf{\text{طول} \times \text{عرض}}$ $$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = (3x + 2)(x + 1)}$$ $$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2}$$ 2. **مساحت مثلث ($athbf{A_{\text{مثلث}}}$):** $\mathbf{\frac{1}{2} \times \text{ساق اول} \times \text{ساق دوم}}$ $$\mathbf{A_{\text{مثلث}} = \frac{1}{2} (2x)(3x + 6)}$$ $$\mathbf{A_{\text{مثلث}} = x(3x + 6) = 3x^2 + 6x}$$ ### گام ۲: تشکیل و حل معادله $$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = A_{\text{مثلث}}}$$ $$\mathbf{3x^2 + 5x + 2 = 3x^2 + 6x}$$ 1. **حذف $\mathbf{3x^2}$ از دو طرف:** $$\mathbf{5x + 2 = 6x}$$ 2. **یافتن $\mathbf{x}$:** $$\mathbf{2 = 6x - 5x}$$ $$\mathbf{x = 2}$$ ### گام ۳: تعیین ابعاد مستطیل مقدار $\mathbf{x=2}$ را در ابعاد مستطیل جایگذاری می‌کنیم: * **عرض مستطیل ($athbf{x+1}$):** $\mathbf{2 + 1 = 3}$ * **طول مستطیل ($athbf{3x+2}$):** $\mathbf{3(2) + 2 = 6 + 2 = 8}$ **پاسخ نهایی:** طول مستطیل $\mathbf{8}$ واحد و عرض آن $\mathbf{3}$ واحد است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی معادله زمانی **همواره جواب حقیقی** دارد که **ممیز ($\mathbf{\Delta}$)** آن به ازای هر مقدار $\mathbf{a}$، **همواره مثبت یا صفر** باشد ($athbf{\Delta \ge 0}$). بیایید $\mathbf{\Delta}$ را برای هر گزینه بررسی کنیم. ### الف) $\mathbf{x^2 + ax - 1 = 0}$ * $\mathbf{A = 1}$، $\mathbf{B = a}$، $\mathbf{C = -1}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = B^2 - 4AC = (a)^2 - 4(1)(-1)}$ $$\mathbf{\Delta = a^2 + 4}$$ **تفسیر:** چون $\mathbf{a^2}$ همواره بزرگتر یا مساوی صفر است ($athbf{a^2 \ge 0}$)، پس $\mathbf{a^2 + 4}$ همواره بزرگتر یا مساوی $\mathbf{4}$ خواهد بود ($athbf{a^2 + 4 \ge 4}$). $$\mathbf{\Delta \ge 4}$$ **نتیجه:** چون $\mathbf{\Delta}$ همواره مثبت است ($athbf{\Delta > 0}$)، این معادله به ازای هر مقدار $\mathbf{a}$، **همواره دارای دو جواب حقیقی متمایز** است. ### ب) $\mathbf{x^2 - x + a = 0}$ * $\mathbf{A = 1}$، $\mathbf{B = -1}$، $\mathbf{C = a}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4(1)(a)}$ $$\mathbf{\Delta = 1 - 4a}$$ **تفسیر:** اگر $\mathbf{a}$ را عددی بزرگتر از $\mathbf{\frac{1}{4}}$ انتخاب کنیم (مثلاً $\mathbf{a=1}$)، آنگاه $\mathbf{\Delta = 1 - 4(1) = -3 < 0}$ خواهد بود. **نتیجه:** چون می‌توان مقادیری برای $\mathbf{a}$ پیدا کرد که $\mathbf{\Delta < 0}$ باشد، این معادله همواره جواب حقیقی ندارد. **پاسخ نهایی:** معادله $\mathbf{(الف) x^2 + ax - 1 = 0}$ همواره دارای جواب‌های حقیقی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی این یک قانون میانبر بسیار مفید است که از **روابط ویت** به دست می‌آید. شرط $\mathbf{a+b+c=0}$ به این معنی است که مجموع ضرایب صفر باشد. ### گام ۱: بررسی ریشه‌ی $\mathbf{x=1}$ اگر $\mathbf{x=1}$ ریشه معادله باشد، باید در معادله صدق کند. $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$: $$\mathbf{a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c}$$ طبق فرض مسئله، $\mathbf{a + b + c = 0}$ است. پس: $$\mathbf{a(1)^2 + b(1) + c = 0}$$ **نتیجه:** چون با جایگذاری $\mathbf{x=1}$ در معادله، تساوی برقرار می‌شود، پس $\mathbf{x=1}$ قطعاً یکی از ریشه‌های معادله است. ### گام ۲: یافتن ریشه دیگر ($athbf{x_2}$) با استفاده از حاصل ضرب ویت می‌دانیم که حاصل ضرب ریشه‌ها در هر معادله درجه دوم برابر است با: $$\mathbf{\text{حاصل ضرب ریشه‌ها } P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$$ ما ریشه اول را پیدا کردیم: $\mathbf{x_1 = 1}$ $$\mathbf{(1) \times x_2 = \frac{c}{a}}$$ $$\mathbf{x_2 = \frac{c}{a}}$$ **نتیجه:** ریشه‌ی دیگر معادله $\mathbf{x_2 = \frac{c}{a}}$ است. **نکته کلیدی:** هرگاه در امتحانات دیدید $\mathbf{a+b+c=0}$، بدون هیچ محاسبه‌ای $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=\frac{c}{a}}$ را به عنوان جواب معرفی کنید!

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ و ۸ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی این دو سؤال ماهیت **اثباتی** دارند و بنیان روابطی که در تمرین‌های ۶ و ۲ استفاده کردیم را نشان می‌دهند. --- ### تمرین ۷: اثبات حاصل ضرب ریشه‌ها ($athbf{x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$) **گام ۱: تعریف ریشه‌ها با استفاده از فرمول کلی** $$\mathbf{x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}} \text{ و } \mathbf{x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$$ **گام ۲: محاسبه حاصل ضرب ($athbf{x_1 x_2}$)** $$\mathbf{P = x_1 x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right)}$$ **گام ۳: استفاده از اتحاد مزدوج در صورت کسر** صورت کسر به شکل $\mathbf{(A + B)(A - B) = A^2 - B^2}$ است که در آن $\mathbf{A = -b}$ و $\mathbf{B = \sqrt{\Delta}}$. $$\mathbf{P = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}}$$ **گام ۴: جایگزینی $\mathbf{\Delta}$** $$\mathbf{P = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}}$$ $$\mathbf{P = \frac{4ac}{4a^2}}$$ **گام ۵: ساده‌سازی** با حذف $\mathbf{4a}$ از صورت و مخرج: $$\mathbf{P = \frac{c}{a}}$$ **نتیجه:** حاصل ضرب ریشه‌ها همواره برابر $\mathbf{\frac{c}{a}}$ است. --- ### تمرین ۸: اثبات حالت خاص $\mathbf{a+b+c=0}$ (این سوال تکراری از تمرین ۶ است، اما آن را به صورت خلاصه اثبات می‌کنیم.) **فرض مسئله:** $\mathbf{a+b+c=0}$. **اثبات ریشه‌ی $\mathbf{x_1 = 1}$:** با جایگذاری $\mathbf{x=1}$ در معادله $\mathbf{ax^2+bx+c=0}$، داریم: $\mathbf{a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c}$. از آنجا که طبق فرض $\mathbf{a+b+c=0}$، ریشه‌ی $\mathbf{x=1}$ ثابت می‌شود. **اثبات ریشه‌ی $\mathbf{x_2 = \frac{c}{a}}$:** از رابطه حاصل ضرب ریشه‌ها استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$$ با جایگزینی $\mathbf{x_1 = 1}$: $$\mathbf{(1) \times x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow x_2 = \frac{c}{a}}$$ **نتیجه:** در صورتی که مجموع ضرایب صفر باشد، ریشه‌ها $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=\frac{c}{a}}$ هستند.